| Títol variant: |
Differencial geometry |
| Títol variant: |
Geometría diferencial |
| Data: |
2023-24 |
| Resum: |
La Geometria Diferencial és clau a l'hora d'entendre el món que ens envolta. Serveix com a fonament de la física teòrica, donant-li el marc rigorós necessari per a la formalització d'algunes de les seves teories, des de l'Electrodinàmica clàssica de Maxwell fins a la Relativitat Restringida i la Relativitat General d'Einstein. La geometria també ens ensenya com podem pensar en dimensions més grans que l'espai tridimensional en què vivim, i obre el nostre horitzó de reflexió. L'objectiu fonamental d'aquesta assignatura és entendre com es pot flexibilitzar els objectes geomètrics lineal que són els subespais afins, en objectes geomètrics corbats o retorçats. Estudiarem en primer lloc les corbes parametritzades de l'espai euclidià, descrivint els diferents invariants que podem definir segons la dimensió en què es desenvolupen: curvatura en qualsevol dimensió, curvatura amb signe en dimensió 2, i finalment torsió i referència de Frenet en dimensió 3. En segon lloc explicarem com podem generalitzar les corbes, pensades com objectes non-lineals unidimensionals, a la dimensió superior. 1 podem generalitzar les corbes, pensades com objectes non-lineals unidimensionals, a la dimensió superior. Serà l'introducció del concepte de subvarietats que necessitarà explorar l'estructura local de les aplicacions diferenciables infinitesimalment injectives o exhaustives (immersions i submersions). Aquest nou concepte de subvarietat serà indispensable a l'hora d'entendre els continguts que se presentaran a les optatives de Topologia de les varietats i Geometria riemanniana de 4rt curs. En una tercera part, estudiarem profundament aquest nou concepte en el cas molt particular que correspon a la nostra realitat quotidiana. Serà la noció de superfícies regulars, per les quals definirem la noció de primera i segona forma fonamental, i de curvatura. També estudiarem com es comportan les corbes sobre aquests objectes geomètrics, fent la relació entre els invariants descrits dins la primera part de l'assignatura i aquesta tercera. A més introduirem famílies especials de corbes sobre les superfícies com les geodèsiques, les línies de curvatura o les línies asimptòtiques. En l'última part, presentarem la noció de forma diferencial. Aquí, tornarem a fer un salt en el grau d'abstracció fins a definir la noció d'integració de formes diferencials en les subvarietats descrites a la segona part. La recompensa d'aquest treball teòric serà l'obtenció del teorema de Stokes que serà la conclusió del recorregut proposat en aquesta assignatura. |
| Resum: |
Differential Geometry is key to understanding the world around us. It serves as the foundation of theoretical physics, giving it the rigorous framework necessary for the formalization of some of its theories, from Maxwell's classical Electrodynamics to Einstein's Restricted Relativity and General Relativity. Geometry also teaches us how we can think in larger dimensions than the three-dimensional space in which we live, and opens our horizon of thinking. The fundamental objective of this subject is to understand how the linear geometric objects that are the affine subspaces can be made more flexible, into curved or twisted geometric objects. We will first study the parameterized curves of the Euclidean space, describing the different invariants that we can define according to the dimension in which they are developed: curvature in any dimension, curvature with sign in dimension 2, and finally torsion and Frenet reference in dimension 3. Secondly we will explain how we 1 sign in dimension 2, and finally torsion and Frenet reference in dimension 3. Secondly we will explain how we can generalize curves, thought of as one-dimensional non-linear objects, to the higher dimension. It will be the introduction of the concept of submanifolds that will need to explore the local structure of injective or surjective infinitesimally differentiable applications (immersions and submersions). This new concept of submanifold will be indispensable when understanding the content that will be presented in the 4th year courses Topology of Manifolds and Riemannian Geometry. In a third part, we will deeply study this new concept in the very particular case that corresponds to our everyday reality. It will be the notion of regular surfaces, for which we will define the notion of first and second fundamental form, and of curvature. We will also study how curves behave on these geometric objects, making the relationship between the invariants described in the first part of this course and this third. We will also introduce special families of curves on surfaces such as geodesics, lines of curvature or asymptotic lines. In the last part, we will present the notion of differential form. Here, we will again make a leap in the degree of abstraction to define the notion of integration of differential forms in the submanifolds described in the second part. The reward for this theoretical work will be Stokes theorem which will be the conclusion of the route proposed in this subject. |
| Resum: |
La Geometría Diferencial es clave a la hora de entender el mundo que nos rodea. Sirve como fundamento de la física teórica, dándole el marco riguroso necesario para la formalización de algunas de sus teorías, desde la Electrodinámica clásica de Maxwell hasta la Relatividad Restringida y la Relatividad General de Einstein. La geometría también nos enseña cómo podemos pensar en dimensiones mayores que el espacio tridimensional en el que vivimos, y abre nuestro horizonte de reflexión. El objetivo fundamental de esta asignatura es entender cómo se puede flexibilizar los objetos geométricos lineal que son los subespacios afines, en objetos geométricos curvados o retorcidos. Estudiaremos en primer lugar las curvas parametrizadas del espacio euclídeo, describiendo los diferentes invariantes que podemos definir según la dimensión en la que se desarrollan: curvatura en cualquier dimensión, curvatura con signo en dimensión 2, y finalmente torsión y referencia de Frenet en dimensión 3. En 1 dimensión, curvatura con signo en dimensión 2, y finalmente torsión y referencia de Frenet en dimensión 3. En segundo lugar explicaremos cómo podemos generalizar las curvas, pensadas como objetos no-lineales unidimensionales, en la dimensión superior. Será la introducción del concepto de subvariedades que necesitará explorar la estructura local de las aplicaciones diferenciables infinitesimalmente inyectivas o exhaustivas (inmersiones y sumersiones). Este nuevo concepto de subvariedad será indispensable a la hora de entender los contenidos que se presentarán en las optativas de Topología de las variedades y Geometría riemanniana de 4º curso. En un tercio lugar, estudiaremos profundamente este nuevo concepto en el caso muy particular que corresponde a nuestra realidad cotidiana. Será la noción de superficies regulares, por las que definiremos la noción de primera y segunda forma fundamental, y de curvatura. También estudiaremos cómo se comportan las curvas sobre estos objetos geométricos, haciendo la relación entre los invariantes descritos en la primera parte de la asignatura y esta tercera. Además introduciremos familias especiales de curvas sobre las superficies como las geodésicas, las líneas de curvatura o las líneas asintóticas. En la última parte, presentaremos la noción de forma diferencial. Aquí, volveremos a dar un salto en el grado de abstracción hasta definir la noción de integración de formas diferenciales en las subvariedades descritas en la segunda parte. La recompensa de este trabajo teórico será la obtención del teorema de Stokes, que será la conclusión del recorrido propuesto en esta asignatura. |
| Drets: |
Aquest document està subjecte a una llicència d'ús Creative Commons. Es permet la reproducció total o parcial, la distribució, la comunicació pública de l'obra i la creació d'obres derivades, fins i tot amb finalitats comercials, sempre i quan es reconegui l'autoria de l'obra original.  |
| Llengua: |
Català, anglès, castellà |
| Titulació: |
Matemàtiques [2500149] |
| Pla d'estudis: |
Grau en Física i Grau en Matemàtiques [1286] ; Grau en Matemàtiques [777] |
| Document: |
Objecte d'aprenentatge |
visitant ::
identificació
